Matrici hermitiane e definite positive

Sandro Tosi

Una matrice, $A$, in ${\r }^{n \times n}$ si dice simmetrica e definita positiva se rispetta le condizioni:

1. $A=A^t$
2. $\forall x \, \in \, \r ^n, \, x\not= \underline{0} \quad x^tAx>0$

In alcuni campi, soprattutto inerenti la fisica, risulta utile poter verificare proprietà analoghe per matrici complesse.

La prima di esse è di facile individuazione in quanto la proprietà analoga alla simmetria per matrici complesse è l'hermitianità: $A\,\in\,\c ^{n\times n}$ è hermitiana sse $A^t=\overline{A}$.

Se, invece, cerchiamo di applicare banalmente una veloce trasposizione della seconda proprietà come $\forall x \, \in \, \c ^n, \, x\not= \underline{0} \quad x^tAx>0$ con $A\,\in\,\c ^{n\times n}$ non otterremmo niente di utile: infatti, la più semplice delle matrici hermitiane è composta dal solo numero reale 1, quindi

$$z^t[1]z = z[1]z=z^2 \not\in \r\qquad \forall z\in\c$$

e non ha senso definire un predicato di maggioranza su questa quantità, che è un numero complesso, e dunque non è possibile verificare se $z^tAz>0$.

Per trovare una proprietà analoga alla definita positività vista per matrici simmetriche nel caso di matrici hermitiane, si sfrutta il seguente

Lemma 1   $x^tA\overline{x} \,\in\,\r$ sse $A$ è una matrice hermitiana.

Riassumedo, le condizioni che una matrice deve rispettare perchè sia hermitiana e definita positiva sono:

1. $A^t=\overline{A}$
2. $\forall x \, \in \, \c ^n, \, x\not= \underline{0} \quad x^tA\overline{x}>0$