Convergenza di Newton con radici semplici

Nel caso di radici semplici si può enunciare la seguente proposizione che sancisce la convergenza del metodo di Newton:

Proposizione 1 Se $f \in \mathbb{C}^2$ e $\vert x_0-\overline{x}\vert< \delta$ con $\delta$ sufficientemente piccolo allora il metodo di Newton converge.

$\begin{proof} Sia $\phi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$\ allora sappiamo che: \begin{... ...di scegliere $\phi (x)$\ come la successione del metodo di Newton. \end{proof}$

Inoltre si ottiene anche il seguente importante risultato:

Proposizione 2 Sia $f \in \mathbb{C}^2$ e $\{ x_k \}$ la successione di approssimazioni generata dal metodo di Newton, allora

$\begin{displaymath}\lim_{k \rightarrow + \infty} \frac{\vert e_{k+1}\vert}{{\vert e_k}\vert^2} = c \not =0 \mbox{.}\end{displaymath}$

$\begin{proof} \begin{displaymath}0 = f(\overline{x})=f(x_k) + f'(x_k)(\overline... ...tarrow \quad \vert x- {\xi}_k \vert \rightarrow 0\end{displaymath} \end{proof}$

Morpheus 2004-01-04