Metodo di Steffensen

Dal momento che sappiamo $f(x_k)\rightarrow 0$ per $x_k\rightarrow \overline{x}$ possiamo utilizzare questo fatto per calcolare l'approssimazione della derivata come, da definizione, limite per $h\rightarrow 0$ del rapporto incrementale calcolato in $f(x_k)$, ed in questo caso possiamo utilizzare $f(x_k)$ al posto di $h$ per ottenere

$$\varphi (x_k) = \frac{f(x_k + f(x_k))-f(x_k)}{f(x_k)} \simeq \frac{f(x_k + h)-f(x_k)}{h}$$

si utilizza quindi la $f(x_k)$ come quel fattore infinitesimale utilizzato nel calcolo della derivata.

La convergenza di questo metodo è quadratica, ma ad ogni iterazione devono essere valutate due funzione $f(x_k)$ e $f(x_k + f(x_k))$ che lo porta ad avere un costo simile a quello del metodo di Newton il che, unito a prestazioni poco brillanti, lo rendono un metodo poco utilizzato.