Soluzione di equazioni non lineari

In questa parte ci occupiamo dell'approssimazione numerica delle radici (anche dette zeri) di una funzione di una variabile reale. Definendo in generale il problema come, si ha

$$f:\mathcal{D}\subseteq {\mathbf{R}}^n \to \mathbf{R}^m$$

ed un vettore

$$y \in \mathbf{R}^m$$

e vorremmo risolvere

$$f(x)=y$$

e quindi trovare quel vettore x che renda vera l'uguaglianza. A priori noi non possiamo sapere se questa soluzione esista oppure sua unica, infatti vediamo negli esempi successivi come siano varie le situazioni in cui possiamo imbatterci:

$$\begin{array}{lll} f(x) \equiv x^2+1=0 & \mbox{non esiste so... ... \{(x_1,x_2) \in {\mathbb{R}}^2 \vert x_2=x_1^2\} \end{array}$$

Possiamo tranquillamente considerare $y=\underline{0}$ senza perdita di generalità: infatti risolvere $g(x)=y$ è del tutto equivalente a risolvere $f(x) \equiv g(x)-y=\underline{0}$.

La nostra analisi si concentrerà nel caso unidimensionale, e cioè quando $m=n=1$ e svilupperemo dei metodi numerici che ci consentiranno di individuare uno zero di funzione.