Risoluzione di $Ax=b$ tramite fattorizzazione $LU$

Non dobbiamo dimenticarci che il nostro problema di partenza era la risoluzione del sistema lineare $Ax=b$; vediamo come questo problema cambia dopo la fattorizzazione della matrice $A$: dal momento che possiamo scrivere

$$A=LU$$

il nostro problema si traduce in

$$Ax=b \qquad \Rightarrow \qquad LUx=b$$

e quindi dobbiamo risolvere il sistema

$$\left\{ \begin{array}{l} Ly=b \\ Ux=y \end{array} \right.$$

che equivale a risolvere prima un sistema lineare la cui matrice dei coefficienti è triangolare inferiore a diagonale unitaria, per poi sfruttare la soluzione appena trovata per identificare la soluzione cercata risolvendo un sistema con matrice triangolare superiore.