Fattorizzazione $A=LU$

La somma ed il prodotto di matrici triangolari, inferiori o superiori, sono ancora triangolari, inferiori o superiori; in particolare per gli elementi diagonali abbiamo

1. $C=A+B$ $\rightarrow$ $c_{ii}=a_{ii}+b_{ii}$
   
2. $C=A \cdot B$ $\rightarrow$ $c_{ii}=a_{ii} \cdot b_{ii}$
   
3. $C=A^{-1}$ $\rightarrow$ $c_{ii}=\frac{1}{a_{ii}}$ (A non singolare)

Consideriamo adesso un particolare caso di matrice triangolare, quella triangolare inferiore a diagonale unitaria

$$L=(l_{ij})=\left\{ \begin{array}{ll} l_{ij}=0 & j>i \\ l_{ij}=1 & j=i \end{array} \right.$$

$$L= \left( \begin{array}{ccc} 1 & & 0 \\ & \ddots & \\ \ast & & 1 \end{array} \right) \mbox{.}$$

In questo caso il determinante di $L$ è sicuramente diverso da zero, ed inoltre abbiamo che tutti gli autovalori della matrice sono uguali ad uno: ${\lambda}_i=1 \quad \forall i=1,\cdots,n$. Dalle proprietà (2) e (3) si possono derivare queste due proprietà delle matrici triangolari a diagonale unitaria:

P1: il prodotto di matrici triangolari a diagonale unitaria è una matrice triangolare a diagonale unitaria (superiore o inferiore);

P2: l'inversa di una matrice triangolare a diagonale unitaria è una matrice dello stesso tipo.

Se possiamo scrivere $A=LU$ con

• L triangolare inferiore a diagonale unitaria;
  
• U triangolare superiore

allora la matrice $A$ si dirà fattorizzabile $LU$. Non è assicurato che tutte le matrici siano fattorizzabili $LU$ ma il seguente teorema ci fornisce un importante risultato:

Teorema 1   Se $A$ è fattorizzabile $LU$, tale fattorizzazione è unica.