Conclusioni

Vogliamo qui riassumere le sperimentazioni effettuate sui vari algoritmi in modo da poterne confrontare i risultati, un confronto altrimenti poco agevole.

Presentiamo prima il grafico della funzione e successivamente una tabella riassuntiva dei risultati.

Figura 5.3: Grafico della funzione $f(x)=x - cosx$

	Soluzione	Iterazioni	Tolleranza
Bisezione	0.739085133215	49	1.68750000000e-15
Newton	0.739085133215	5	1.67361202918e-15
Corde ($m=1$)	0.739085133215	87	1.00000000000e-15
Corde ($m=2$)	0.739085133215	20	2.00000000000e-15
Secanti	0.739085133215	6	1.67339832869e-15
Steffensen	0.739085133215	8	1.67361206491e-15

Come si vede tutti i metodi esaminati convergono verso la stessa soluzione (qui presentata con solo 12 cifre significative), peraltro molto prossima alla soluzione esatta, ed anche la tolleranza sulla funzione (anch'essa presentata con un ridotto numero di cifre decimali) risulta pressappoco la stessa; ciò che cambia, anche in modo vistoso, sono il numero di iterazioni necessarie perché l'algoritmo converga: se ad un estremo abbiamo il metodo delle corde con 87 iterazioni, causate da una cattiva scelta del coefficiente angolare, all'altro estremo abbiamo il metodo di Newton che si dimostra essere molto efficiente; non scordiamoci però che ogni passo di Newton ha costo doppio rispetto, ad esempio, a bisezione dovuto alla doppia valutazione di funzione. Come già ampiamente discusso, il metodo di bisezione è un metodo lento (lo testimoniano le sue 49 iterazioni) ma di sicura convergenza; il metodo delle secanti si candida come buon sostituto del metodo di Newton, per la sua efficacia e per la sua semplicità computazionale, nel caso il calcolo analitico della derivata della funzione in esame sia decisamente complesso. Un ultima parola per il metodo di Steffensen che, sebbene abbia un costo paragonabile al metodo di Newton, impiega molte più iterazioni (in questo caso oltre il 60% in più) di Newton per giungere alla soluzione; proprio questi due fatti lo rendono un metodo scarsamente utilizzato.

Figura 5.4: Grafico della funzione $f(x)={(x-5)}^5$

	Soluzione	Iterazioni	Tolleranza
Bisezione	5.000000000000	43	2.94004118110e-65
Newton	4.999999999999	155	7.47072984107e-72
NewtonMolt	5	1	0
Aitken	5.000000000000	1	3.11150763893e-75

Si nota bene come il metodo di Newton classico risulti molto inefficiente in caso di radici multiple (impiega più di 3 volte le iterazioni del metodo di bisezione per arrivare all'approssimazione); conoscendo la molteplicità della radice, in questo caso 5, la modifica apportata al metodo di Newton, con una sola iterazione, arriva alla soluzione. Il metodo di Aitken, da parte sua, impiega sempre una sola iterazione, ma non necessita uno studio preventivo per determinare la molteplicità della radice.

Figura 5.5: Grafico della funzione $f(x)={(x-1)}^4(x-2)$

	Soluzione	Iterazioni	Tolleranza
Newton	1.000000000000	117	2.77265512161e-58
NewtonMolt	1	5	0
Aitken	1	4	0

Questa tabella mostra ancora una volta l'inefficienza del metodo di Newton; nuovamente conoscendo la molteplicità 4 della radice $x=1$ possiamo ripristinare la velocità del metodo di Newton che pertanto ritorna a valori accettabili di convergenza. Potrebbe sembrare che il metodo di Aitken sia decisamente performante, ma non dobbiamo dimenticare che ogni sua iterazione ha un costo superiore a tutti gli altri metodi a confronto.