Ricerca dell'autovalore dominante

Data una matrice $A \in {\mathbf{C}}^{n \times n}$ si dice autovalore di $A$ ogni numero $\lambda\in\mathbf{C}$ tale che

$$Av=\lambda v \qquad v\in\mathbf{C}^n$$

con $v\neq0$; ogni tale vettore $v$ è detto autovettore associato all'autovalore $\lambda$.

Come sappiamo (Teorema Rouche-Capelli) un sistema lineare omogeneo ha soluzioni non nulle se e solo se la matrice dei coefficienti del sistema è singolare e cioè ha determinante nullo; poichè l'equazione precedente è equivalente al sistema

$$(A-\lambda I)x=0$$

segue che gli autovalori siano tutti e soli i valori $\lambda$ che soddisfano l'equazione

$$det(A-\lambda I)=0$$

e dal calcolo esplicito del determinante abbiamo

$$det(A-\lambda I)=p_a(\lambda)$$

quello che si chiama polinomio caratteristico della matrice $A$; gli autovalori di una matrice $A \in {\mathbf{C}}^{n \times n}$ coincidono con le radici del polinomio $p_a(\lambda)$, che sono $n$ e che perciò verranno indicate con ${\lambda}_1,{\lambda}_2,\cdots,{\lambda}_n$.

Calcolarsi gli autovalori risolvendo il polinomio caratteristico comporta il calcolo del determinante di una matrice, un'operazione molto costosa e spesso non necessaria. Esiste ad esempio il metodo $QR$ che consente di calcolare l'intero spettro della matrice e che genera una successione di matrici che trasformano per similitudine la matrice data per ottenere una matrice triangolare superiore. Dato il suo costo molto elevato e la complessità dell'algoritmo non ce ne occuperemo, preferendo orientarci verso un problema simile.

Ci concentriamo infatti su un metodo per ottenere quello che è detto l'autovalore dominante, cioè l'autovalore di modulo massimo. Anche se non risolviamo il problema originario, e quindi non troviamo tutti gli autovalori della matrice $A$, la soluzione a questo problema è di grande interesse in molti problemi di applicazione reale, ad esempio per la geosismica, per lo studio delle vibrazioni di macchine e strutture ed addirittura in meccanica quantistica.