Il caso $\sigma(A) \subset \mathbb{R}$

Se $\sigma(A) \subset \mathbb{(}R)$ possiamo costruire la matrice $A$ come una matrice simile a quella diagonale che contiene sulla diagonale proprio gli autovalori, vediamo come:

$$A=Q \left( \begin{array}{ccc} {\lambda}_1 & & \\ & \ddots... ...\end{array} \right)Q^T \qquad \mbox{con } Q \mbox{ ortogonale}$$

e per calcolare $Q$ utiliziamo una tecnica già vista: sia $v$ un vettore qualsiasi, allora

$$Q=I - 2\frac{v{v}^T}{v^T v}$$

è proprio la matrice di Householder che sappiamo essere ortogonale.

Un altro modo per calcolare $Q$ potrebbe essere quello di generare una matrice casuale e poi applicare su di essa la fattorizzazione $QR$ e da qui prendere la nostra $Q$, ma come metodo è decisamente costoso.