Il caso $\sigma(A) \not\subset \mathbb{R}$ e le matrici di compagnia

In questo caso si usano quelle che sono dette matrici di compagnia, vediamo la loro struttura:

$$A= \left( \begin{array}{ccccc} -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots... ...ddots & \vdots \\ 0 & \cdots &0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$

praticamente una matrice con tutti valori nulli tranne la prima sottodiagonale e la prima riga, che contiene dei valori generici.

Proposizione 1   Se $A$ è una matrice di compagnia allora

$$P_A(\lambda)={(-1)}^n \left( {\lambda}^n+a_{n-1}{\lambda}^{n-1}+ \cdots + a_1 \lambda +a_0 \right)$$

Facciamo un esempio: considerando la seguente matrice

$$A^{(1)}= \left( \begin{array}{ccc} -a_2 & -a_1 & -a_0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$

calcoliamone adesso il polinomio caratteristico come il determinante di $A^{(1)}$ rispetto alla terza colonna:

$$\begin{eqnarray*} P_{A^{(1)}}(\lambda) & = & det \left( \begin{array}{ccc} -... ... & = & - ({\lambda}^3 + a_2 {\lambda}^2 + a_1{\lambda} +a_0) \end{eqnarray*}$$

Detto questo possiamo costruire una matrice $A$ con fissato: infatti dato di grado n, e cioè nella forma

possiamo scrivere la matrice

Un paio di osservazioni sono d'obbligo:

1. Con la matrice $A$ sopra definita, se avessimo conosceremmo anche gli autovalori di B, infatti sia e sia $v$ l'autovettore corrispondente allora
   
   
   
   e quindi $v$ e autovettore anche di $B$, oltre che di $A$, e l'autovalore corrispondente è .
2. Se avessimo allora sia ancora e $v$ l'autovettore corrispondente allora
   
   
   
   facilmente verificabile per induzione.