Condizionamento del problema

Sia $y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $y=\varphi (x)$ una funzione con $x$ soggetto ad errori casuali (diciamo che sia il risultato di prove sperimentali), ed ipotiziamo che $\varphi$ venga calcolata in modo esatto.

Quello che ci proponiamo di fare adesso è, invece di calcolare $\varphi (x)$, è calcolare $\varphi (\hat{x})$ con $\hat{x}$ una perturbazione di $x$ ma comunque un valore prossimo ad $x$, e poi osservare la relazione tra l'errore in partenza, tra $x$ e $\hat{x}$, e l'errore in arrivo, tra $y$ e $\hat{y}$. Definiamo allora:

$\varepsilon y$: errore (relativo o assoluto) della soluzione $y$;

$\varepsilon x$: errore (relativo o assoluto) della soluzione $x$.

Allora possiamo riunire questi errori in una relazione

$$\vert\varepsilon y\vert \leq k \vert\varepsilon x\vert$$

con $k$ che viene detto numero di condizionamento del problema.

Se $k \approx 1$ il problema si dice ben condizionato, infatti si ha lo stesso ordine di grandezza per gli errori in partenza ed in arrivo; se invece $k \gg 1$ il problema si dice mal condizionato in quanto piccoli errori sui dati in partenza possono influenzare notevolmente il risultato finale.