A triangolare inferiore

Se la matrice $A$ è triangolare inferiore si presenta nella forma

$$A= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ ... ... \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right)$$

caratterizzata da $a_{ij}=0 \mbox{ } \forall j>i$. Anche in questo caso il determinante è facilmente calcolabile, infatti si ottiene ancora come il prodotto degli elementi diagonali della matrice, allora

$$det(A) \neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \prod_{i=1}^n a_{ii... ...ftrightarrow \quad a_{ii} \neq 0 \mbox{ } \forall i=1,\cdots,n$$

Proviamo con un esempio di una matrice triangolare inferiore $3 \times 3$ a vedere come funziona il modo di risoluzione:

$$\begin{array}{cccc} \par$$

(

)

$$\par & \par$$

(

)

$$\par & = & \par$$

(

)

$$\par \end{array}$$

$$\Downarrow$$

$$\left\{ \begin{array}{ccccccc} a_{11}x_1 & & & & & = & b_... ...2}x_2 & + & a_{33}x_3 & = & b_3 \end{array} \right.\mbox{.}$$

Si vede che la prima componente del vettore soluzione $x$, $x_1$, è già disponibile, per cui possiamo trovare

$$x_1=\frac{b_1}{a_{11}}$$

ed il fatto che gli elementi diagonali della matrice siano diversi da zero rende l'espressione ben formata.

Noto $x_1$, possiamo adesso ricavare $x_2$ nel seguente modo

$$x_2=\frac{b_2 - a_{21}\overbrace{\frac{b_1}{a_{11}}}^{x_1}}{a_{22}}$$

ed adesso siamo in grado di trovare l'ultima componente del vettore soluzione come

$$x_3=\frac{b_3 - a_{31}x_1 - a_{32}x_2}{a_{33}}\mbox{.}$$

Quello che abbiamo cercato di fare con questo semplice esempio era mostrare come si poteva ottenere il vettore $x$: tramite un algoritmo iterativo si ottengono le componenti del vettore soluzione tramite la relazione

$$x_i=\frac{b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_j}{a_{ii}}$$

e partendo da $i=1$ si arriva alla soluzione desiderata.