I numeri interi

Prendiamo come esempio i numeri interi. In questo caso l'errore di arrotondamento non si presenta, infatti, considerando un numero a caso

$$1234=1 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 +4 \cdot 10^0$$

o comunque più in generale, un numero in base 10 può essere visto come

$$d_n d_{n-1} \cdots d_0 = d_n \cdot 10^n + d_{n-1} \cdot 10^{n-1} \cdots + d_0 \cdot 10^0$$

poichè noi siamo soliti utilizzare il sistema decimale per esprimere i numeri ma se, sempre per generalità, chiamiamo $\beta>1 \in \mathbb{N}$ la base generica, possiamo scrivere

$$d_n d_{n-1} \cdots d_0 = d_n \cdot {\beta}^n + d_{n-1} \cdot {\beta}^{n-1} \cdots + d_0 \cdot {\beta}^0$$

abbiamo così espresso la notazione posizionale in modo generico, posizionale perché la "posizione" del numero indica per quale potenza della base $\beta$ debba essere moltiplicato.

Data la finitezza del calcolatore risulta necessario porre un limite superiore, $nmax$, ai numeri naturali rappresentabili o meglio ancora un intervallo di valori $[0,nmax]$. Per riportarci nel caso dei numeri interi, avremo un intervallo del tipo $[zmin,zmax]$. Se consideriamo, per esempio, di avere $\beta =2$ e che la nostra rappresentazione dei numeri sia quella in complemento a due, allora l'intervallo dei valori assume questa forma

$$[-2^k, 2^{k-1}-1]$$

e questo intervallo di valori viene rappresentato in modo esatto, senza introdurre alcun errore.