Rappresentazione dei numeri nel calcolatori

Ogni calcolatore ha a disposizione una memoria finita, incapace di contenere l'infinito insieme dei numeri reali. L'insieme $\mathbb{F} \subset \mathbb{R}$ è quello che si chiama insieme dei numeri macchina, l'insieme di quei numeri rappresentabili sul calcolatore.

Dato un numero $x \in \mathbb{R}$ perché sia possibile rappresentarlo sulla macchina in generale è necessario che questo venga approssimato con un valore $fl(x) \in \mathbb{F}$ sufficientemente vicino ad $x$.

Non è poi certo che, dati due numeri $x_1,x_2 \in \mathbb{F}$, applicando ad essi una operazione $\circ = (+, -, *, /)$, $x_1 \circ x_2 \in \mathbb{F}$. Per poter stabilire l'affidabilità del risultato è perciò necessario determinare:

• l'origine degli errori;
  
• la loro propagazione;
  
• una valutazione degli errori.

Quando un numero $x \in \mathbb{R}$ viene approssimato con $\hat{x} \in \mathbb{F}$ si definiscono due errori:

• l'errore assoluto, $\vert x-\hat{x}\vert$ e
  
• l'errore relativo, $\frac{\vert x-\hat{x}\vert}{\vert x\vert}$ $x \neq 0$, solitamente espresso come percentuale.