Gauss ci da una mano

Cerchiamo di risolvere il nostro problema della fattorizzazione risolvendone prima uno più semplice: dato un vettore

$$v= \left( \begin{array}{c} v_1\\ \vdots \\ v_k \\ \vd... ...\\ v_n \end{array} \right) \in \mathbb{R}^n \quad v_k\neq 0$$

cerchiamo una matrice $L$ triangolare inferiore a diagonale unitaria tale che

$$Lv= \left( \begin{array}{c} v_1\\ \vdots \\ v_k \\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{array} \right)$$

che quindi annulli gli elementi dal (k+1)-esimo in poi lasciando inalterati gli altri, ed in modo che sia la più semplice possibile.

Definiamo allora un vettore, detto vettore elementare di Gauss nel seguente modo:

$$g=\frac{1}{v_k}{(\underbrace{0\cdots 0}_{k},v_{k+1}, \cdots , v_n)}^T$$

Adesso possiamo definire la matrice $L$ come

$$L=I-ge_k^T \qquad \qquad e_k=\left( \begin{array}{c} 0 \\ ... ... \end{array} \right) \leftarrow \mbox{in k-esima posizione}$$

cioè come la matrice identità a cui viene sommata una correzione di rango $1$ (infatti $dim(g)=n \times 1$ mentre $dim(e_k^T)=1 \times n$ e dunque il loro prodotto sarà una matrice $n\times n$ le cui colonne saranno tutte nulle tranne la k-esima che contiene il vettore $g$; questa matrice aggiungerà contributi solo alla parte strettamente inferiore di $L$):

$$L= \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & & & & & & & \\ 0 & ... ...& -\frac{v_n}{v_k} & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right)$$

con elementi sottodiagonali non nulli solo in corrispondenza della k-esima colonna.

Una matrice siffatta si dice matrice elementare di Gauss, e soddisfa le nostre richieste, proviamo a verificarlo:

$$Lv= \left( \begin{array}{c} v_1\\ \vdots \\ v_k \\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{array} \right)$$

$$\begin{array}{lcl} Lv & = & (I-ge_k^T)v=Iv-ge_k^Tv=v-g(e_k... ...k \\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \end{array}$$

proprio il vettore che volevamo ottenere.

La matrice $L$ è stata trovata solo grazie al fatto che $v_k \neq 0$ che è condizione necessaria e sufficiente affinchè il problema abbia soluzione.

Vediamo adesso che forma ha la matrice $L^{-1}$. Sappiamo per certo che è triangolare inferiore a diagonale unitaria, ed è ottenuta come l'identità a cui viene aggiunto lo stesso termine di correzione di rango uno di $L$:

$$L^{-1}=I+ge_k^T$$

come verifica possiamo calcolare

$$\begin{array}{lcl} L^{-1}L & = & (I+ge_k^T)(I-ge_k^T)=I+ge... ... & = & I-g(\underbrace{e_k^Tg}_{g_k=0})e_k^T=I \end{array}$$