I numeri reali

La rappresentazione che solitamente si usa sui calcolatori per i numeri reali è quella floating point, rappresentazione basata sul seguente

Teorema 1   Sia $\beta >1$, $\beta \in \mathbb{N}$ base del nostro sistema posizionale. Un qualunque $x \in \mathbb{R}$ $(x \neq 0)$ si può esprimere in modo univoco come

$$x=sign(x)\underbrace{(d_1 {\beta}^{-1} + d_2 {\beta}^{-2}+ \cdots)}_{mantissa} {\beta}^p$$

dove

1. sign(x)= $\left\{ \begin{array}{ccc} 1 & & x>0 \\ -1 & & x<0 \end{array} \right.$
   
2. $p \in \mathbb{Z}$ è detta caratteristica
   
3. $0 \leq d_i \leq \beta -1$ , $d_1 \neq 0$.

Quella descritta nel teorema prende il nome di forma floating point normalizzata, in quanto viene richiesto $d_1 \neq 0$; il fattore ${\beta}^p$ è detto parte esponenziale e le cifre $d_i$ della mantissa sono le cifre significative.

Per poter definire i numeri che apparterranno all'insieme $\mathbb{F} \subset \mathbb{R}$ sarà necessario porre un intervallo per la caratteristica, $p \in [L,U]$ e solitamente $L<0$ e $U>0$; inoltre non è possibile rappresentare le infinite cifre significative dei numeri reali, si fissa allora $t$ come massimo numero di cifre significative per un numero che appartiene all'insieme $\mathbb{F}$. Possiamo finalmente definire $\mathbb{F}$, l'insieme dei numeri macchina, come

$$\mathbb{F}(\beta,t,L,U)=\{0\} \cup \{x \in \mathbb{R}: x=sign(x){\beta}^p \sum_{i=1}^t d_i {\beta}^{-i},$$

$$p \in [L,U] (\cap \mathbb{Z}),\quad 0 \leq d_i \leq \beta -1 ,\quad d_1 \neq 0, \}$$