Matrici a diagonale dominante

In caso di matrici di questo tipo abbiamo la proprietà che ogni sottomatrice di ordine $k$, $A_k$, è a diagonale dominante: infatti

$$\forall i=1,\cdots,n \quad \vert a_{ii}\vert > \sum_{\begin{a... ...criptstyle j \neq i \end{array}}^{k (\leq n)} \vert a_{ij}\vert$$

e quindi $A_k$ è a diagonale dominante.

Abbiamo dimostrato che se $A$ è a diagonale dominante, allora tali sono anche le sue sottomatrici principali; per dimostrare che $A$ è fattorizzabile $LU$ quello che dobbiamo dimostrare è che $A$ è non singolare, e cioè che i suoi minori principali sono non nulli. Dimostriamo dunque che se $A$ è a diagonale dominante, allora $A$ è non singolare.

Per assurdo supponiamo $A$ essere a diagonale dominante e singolare, allora esiste $x\neq \underline{0}$ tale che $Ax=\underline{0}$ e questo vettore è definito a meno di una costante. Assumiamo allora

$$\vert x_i\vert={max}_j \vert x_j\vert = 1$$

altrimenti potremmo dividere $x$ per la sua norma infinito, che è proprio definita come il massimo delle componenti di $x$. Allora prendiamo la i-esima componente dei due termini moltiplicandoli per $e_i$; l'indice $i$ è quello in corrispondenza dell'elemento massimo di $x$:

$$\begin{eqnarray*} e_iAx & = & e_i \underline{0}=0\\ (e_iA)x & = & (a_{i1}, \c... ...vert x_i\vert=1 \\ a_{ii}x_i & = & - \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j \end{eqnarray*}$$

possiamo dunque scrivere

$$\begin{eqnarray*} \vert a_{ii}\vert & = & \vert a_{ii}x_i\vert= \left\vert - \s... ..._{ij}\vert\vert x_j\vert \leq \sum_{j\neq i} \vert a_{ij}\vert \end{eqnarray*}$$

avendo maggiorato $\vert x_j\vert$ con 1; ma allora quello che abbiamo ottenuto è che

$$\vert a_{ii}\vert\leq \sum_{j\neq i} \vert a_{ij}\vert$$

cioè non è a diagonale dominante, un assurdo in contrapposizione alle nostre ipotesi.

Dunque se una matrice è a diagonale dominante è non singolare ed allora è fattorizzabile $LU$ come si voleva dimostrare.