Matrici simmetriche e definite positive

Sia $A$ una matrice simmetrica e definita positiva, allora verifica:

• $A=A^T$ per simmetria;
  
• $\forall x \neq \underline{0} \in {\mathbb{R}}^n \Rightarrow x^TAx > 0$.

la matrice $A$ ha gli elementi diagonali diversi da zero: infatti scegliendo $x=e_i$, che è diverso dal vettore nullo, allora $e_i^TAe_i=a_{ii} >0$

Se $A$ è simmetrica e definita positiva, allora tali saranno le sue sottomatrici principali $A_k$: la simmetria discende immediatamente dalla simmetria di $A$, ma $A_k$ è anche definita positiva? Cioè, $\forall y \neq \underline{0} \in {\mathbb{R}}^k \ y^TA_ky > 0$ è verificato? Prendiamo un vettore $x$ così costruito:

$$x=\left( \begin{array}{c} y\\ \underline{0} \end{array} \right) \in {\mathbb{R}}^n \wedge x \neq \underline{0}$$

per ipotesi abbiamo che $x^TAx>0$ allora scomponendo la matrice a blocchi

$$A=\left( \begin{array}{c\vert c} A_k & B \\ \hline B^T & D \end{array} \right)$$

si può scrivere

$$(y \mbox{ }\underline{0})\left( \begin{array}{c\vert c} A... ...in{array}{c} A_ky \\ B^Ty \end{array} \right) = y^TA_ky >0$$

Allora se $A$ è simmetria e definita positiva, $A$ è anche non singolare; infatti se avessimo, per assurdo, $A$ singolare, questo implicherebbe che $\exists x \neq \underline{0}: \quad Ax=\underline{0}$ e quindi

$$0<x^TAx=x^T\underline{0}=0$$

un assurdo evidentemente.