Le proprietà dell'insieme $\mathbb{F}$

Approfondiamo adesso alcune caratteristiche dell'insieme $\mathbb{F}$:

1. La cardinalità di $\mathbb{F}$ è minore di $+ \infty$, di più
   
   $$\vert \mathbb{F}\vert=2(U-L+1)(\beta-1){\beta}^{t-1}$$
   
   
   vediamone le ragioni:
   
   $$\begin{array}{ll} 2 & \mbox{per il segno;} \\ (U-L+1) & ... ...\beta-1)}_{d_1} \underbrace{{\beta}^{t-1}}_{d_i} \end{array}$$
   
   
   
   
2. Se $x \in \mathbb{F}$, $x>0$, allora $x \in [xmin,xmax]$ con $xmin={\beta}^{L-1}$ e $xmax={\beta}^U(1-{\beta}^{-t})$:
   • xmin, $p=L$ $d_1=1$ per imposizione e $d_2= \cdots = d_n=0$, i valori minimi che possono assumere; si ottiene perciò $xmin={\beta}^L \cdot {\beta}^{-1}={\beta}^{L-1}$
     
   • xmax, $p=U$ e $d_1= \cdots =d_n= \beta -1$ i loro valori massimi, si ha quindi
     $$\begin{eqnarray*} xmax & = &{\beta}^U \sum_{i=1}^t (\beta -1){\beta}^{-i}={\bet... ...^{t-1} {\beta}^{-i} -{\beta}^t\right) = {\beta}^U(1-{\beta}^t) \end{eqnarray*}$$
     
     
     
     

   Quello che abbiamo mostrato era basato sul fatto che $x>0$, nel caso in cui $x<0$ allora $x \in [-xmax,-xmin]$, perciò $\mathbb{F} \subset [-xmax,-xmin] \cup \{0\} \cup [xmin,xmax]$
   
3. I valori dell'insieme $\mathbb{F}$ non sono equidistanti tra loro, lo sono solo tra potenze successive.